Álgebra abstrata e geometria algébrica para conectar a física quântica com a teoria dos números
Vários campos da matemática se desenvolveram em total isolamento, usando suas próprias linguagens codificadas ‘indecifráveis’. Em um novo estudo publicado em PNASTamás Hausel, professor de matemática no Instituto de Ciência e Tecnologia da Áustria (ISTA), apresenta “grandes álgebras”, um “dicionário” matemático bidirecional entre simetria, álgebra e geometria, que pode fortalecer a conexão entre os mundos distantes da física quântica e da teoria dos números.
Kit de ferramentas técnicas: Simetria e comutatividade, da estética à funcionalidade
- O grupo de todas as transformações sob as quais um objeto matemático permanece invariante é chamado de “grupo de simetria”.
- Simetrias como a rotação de um círculo ou de uma esfera podem ser classificadas como ‘contínuas’. (Ao contrário disso, um exemplo de ‘discreto‘simetria é o espelhamento de um objeto bilateralmente simétrico, como as asas de uma borboleta.)
- Grupos de simetria contínua são representados matematicamente por matrizes — conjuntos retangulares de números — que podem converter as propriedades do objeto matemático em álgebra linear.
- Rotações de um círculo podem ser vistas como um grupo de simetria contínua comutativa. Em contraste, o grupo de simetria do planeta Terra é não comutativo: se alguém começa olhando para o equador passando pela África, girar para a esquerda e depois para baixo não produz o mesmo resultado que girar para baixo e depois para a esquerda. No primeiro caso, a visão de alguém estaria centrada no Polo Sul. No segundo, alguém chegaria ao equador no hemisfério ocidental com os polos posicionados horizontalmente.
- Grupos de simetria não comutativos foram até agora representados por matrizes não comutativasou seja, matrizes em que a ordem das operações influencia o resultado final. No entanto, isso não permite uma interpretação geométrica, pois a geometria das álgebras não comutativas ainda não é bem compreendida. Por outro lado, as álgebras comutativas podem ser bem compreendidas por meio de sua geometria.
- Um “grande álgebra” é uma ‘tradução’ comutativa de uma álgebra matricial não comutativa e, portanto, permite o uso de técnicas de geometria algébrica. Como resultado, grandes álgebras lançam nova luz sobre as propriedades de grupos de simetria contínua não comutativa.
Simetria não é apenas uma questão de estética e equilíbrio, mas também uma característica altamente recorrente em todos os domínios da vida. Matematicamente, simetria é uma forma de ‘invariância’: mesmo quando submetido a certas operações ou transformações, um objeto matemático simétrico permanece inalterado.
Grupos de simetria contínua são chamados de ‘comutativos’ quando a ordem das operações ou transformações não importa, ou ‘não comutativos’ no caso oposto.
A matemática, a mais exata entre as disciplinas científicas, pode ser vista como a busca final pela verdade absoluta. No entanto, os caminhos matemáticos para a verdade muitas vezes precisam superar obstáculos tremendos, como conquistar picos de montanhas inimaginavelmente altos ou construir pontes gigantes entre continentes isolados. O mundo matemático está repleto de mistérios e várias disciplinas matemáticas se desenvolveram ao longo de caminhos complicados – em completo isolamento umas das outras. Assim, estabelecer uma verdade irrefutável em torno de fenômenos complexos no mundo físico se baseia na intuição e em uma boa dose de abstração. Mesmo aspectos fundamentais da física levam a matemática a novos patamares de complexidade. Isso é especialmente verdadeiro para simetrias, com a ajuda das quais os físicos teorizaram e descobriram um zoológico inteiro de partículas subatômicas que compõem nosso universo.
Em um esforço excepcionalmente ambicioso, Tamás Hausel, professor do Instituto de Ciência e Tecnologia da Áustria (ISTA), não apenas conjecturou, mas também provou uma nova ferramenta matemática chamada “grandes álgebras”. Este novo teorema é comparável a um “dicionário” que decifra os aspectos mais abstratos da simetria matemática usando geometria algébrica. Ao operar na intersecção de simetria, álgebra abstrata e geometria, as grandes álgebras usam informações geométricas mais tangíveis para recapitular informações matemáticas sofisticadas sobre simetrias. “Com grandes álgebras, informações da ‘ponta do iceberg matemático’ podem nos dar insights sem precedentes sobre as profundezas ocultas do mundo misterioso dos grupos de simetria”, diz Hausel. Com essa descoberta matemática, Hausel busca consolidar a conexão entre dois campos distantes da matemática: “Imagine, por um lado, um mundo de representações matemáticas da física quântica e, por outro lado, muito, muito distante, o mundo puramente matemático da teoria dos números. Com o presente trabalho, espero ter chegado um passo mais perto de estabelecer uma conexão estável entre esses dois mundos.”
Não mais perdido na tradução
O filósofo e matemático do século XVII René Descartes nos mostrou que poderíamos entender a geometria dos objetos usando equações algébricas. Assim, ele foi o primeiro a “traduzir” informações matemáticas entre esses campos anteriormente separados. “Gosto de ver as relações entre diferentes campos matemáticos como dicionários que traduzem informações entre linguagens matemáticas frequentemente não mutuamente inteligíveis”, diz Hausel. Até agora, vários desses “dicionários” matemáticos foram desenvolvidos, mas alguns apenas traduzem as informações em uma direção, deixando as informações sobre o caminho de volta totalmente criptografadas. Além disso, o termo “álgebra” hoje em dia abrange tanto a álgebra clássica, como na época de Descartes, quanto a álgebra abstrata, ou seja, o estudo de estruturas matemáticas que não podem necessariamente ser expressas com valores numéricos. Isso adiciona outra camada de complexidade. Agora, Hausel usa a álgebra abstrata e a geometria algébrica como um “dicionário” bidirecional.
Um esqueleto e nervos
Em matemática, simetria é definida como uma forma de ‘invariância’. O grupo de transformações que mantém um objeto matemático inalterado é chamado de “grupo de simetria”. Eles são classificados como ‘contínuos’ (por exemplo, a rotação de um círculo ou esfera) ou ‘discretos’ (por exemplo, o espelhamento de um objeto). Grupos de simetria contínuos são representados matematicamente por matrizes-arrays retangulares de números. Partindo de uma representação matricial de um grupo de simetria contínuo, Hausel pode calcular a grande álgebra e representar suas propriedades essenciais geometricamente desenhando seu ‘esqueleto’ e ‘nervos’ em uma superfície matemática. O esqueleto e os nervos da grande álgebra dão origem a formas interessantes e imprimíveis em 3D que recapitulam aspectos sofisticados da informação matemática original, fechando assim o círculo de tradução. “Estou particularmente animado com este trabalho, pois ele nos fornece uma abordagem completamente nova para estudar representações de grupos de simetria contínuos. Com grandes álgebras, a ‘tradução’ matemática não funciona apenas em uma direção, mas em ambas.”
Unindo continentes isolados em um vasto mundo da matemática
Como as grandes álgebras poderiam fortalecer o elo entre a física quântica e a teoria dos números, dois campos da matemática aparentemente mundos separados? Primeiramente, a matemática por trás da física quântica faz uso extensivo de matrizes-arranjos retangulares de números. No entanto, essas matrizes são tipicamente “não comutativas”, o que significa que multiplicar a primeira matriz pela segunda não produz o mesmo resultado que multiplicar a segunda pela primeira. Isso representa um problema na álgebra e na geometria algébrica, pois a álgebra não comutativa ainda não é bem compreendida. As grandes álgebras agora resolvem esse problema: quando computada, uma grande álgebra é uma “tradução matemática” comutativa de uma álgebra de matriz não comutativa. Assim, as informações inicialmente contidas em matrizes não comutativas podem ser decodificadas e representadas geometricamente para revelar suas propriedades ocultas.
Em segundo lugar, Hausel mostra que grandes álgebras não apenas revelam relações entre grupos de simetria relacionados, mas também quando seus chamados “duais de Langlands” estão relacionados. Esses duais são um conceito central no mundo puramente matemático da teoria dos números. No Programa Langlands, um dicionário altamente intrincado e de grande escala que busca unir ‘continentes’ matemáticos isolados, a dualidade de Langlands é um conceito ou ferramenta que permite o ‘mapeamento’ de informações matemáticas entre diferentes categorias. “No meu trabalho, grandes álgebras parecem relacionar diferentes grupos de simetria precisamente quando seus duais de Langlands estão relacionados, um resultado bastante surpreendente com possíveis aplicações na teoria dos números”, diz Hausel.
“Idealmente, grandes álgebras me permitiriam relacionar a dualidade de Langlands na teoria dos números com a física quântica”, diz Hausel. Por enquanto, ele conseguiu demonstrar que grandes álgebras resolvem problemas em ambos os continentes. A névoa começou a se dissipar, e os continentes da física quântica e da teoria dos números vislumbraram as montanhas e praias um do outro no horizonte. Em breve, em vez de apenas conectar os continentes por barco, uma ponte de grandes álgebras pode permitir uma travessia mais fácil do estreito matemático que os separa.
Publicação:
Hausel T. 2024. Avatares comutativos de representações de grupos de Lie semisimples.Anais da Academia Nacional de Ciências dos EUA (PNAS). DOI: 10.1073/pnas. P 35847.
